Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc 2 với x {\displaystyle x} là biểu thức có dạng a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} trong đó a,b,c là các hệ số và a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} .

Như vậy hàm bậc hai tương đương với tam thức bậc hai và ta có:

Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} thì f ( x ) {\displaystyle f(x)} luôn cùng dấu với a {\displaystyle a} , ∀ x ∈ R {\displaystyle \forall x\in R}

Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} thì f ( x ) {\displaystyle f(x)} luôn cùng dấu với a {\displaystyle a} , trừ x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}

Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} thì f ( x ) {\displaystyle f(x)} :

• Cùng dấu với a {\displaystyle a} khi x < x 1 {\displaystyle x<x_{1}} hoặc x > x 2 {\displaystyle x>x_{2}}
• Trái dấu với a {\displaystyle a} khi x 1 < x < x 2 {\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}

với x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) {\displaystyle x_{1},x_{2}(x_{1}<x_{2})} là 2 nghiệm của f ( x ) {\displaystyle f(x)}

Cách xét dấu trên cũng đúng khi sử dụng biệt thức Δ'

Các bài toán có nội dung quy về phương trình bậc hai

Một số công thức sau đây thể hiện sự phụ thuộc giữa 2 đại lượng mà có sự tham gia của phương trình bậc hai, chủ yếu là các công thức Vật lý:

Cơ học

Công thức tính quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều: s = v 0 t + a t 2 2 {\displaystyle s=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}

Phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều: x = x 0 + v 0 t + a t 2 2 {\displaystyle x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}

công thức liên hệ giữa gia tốc, vận tốc, quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều: v 2 − v 0 2 = 2 a s {\displaystyle v^{2}-v_{0}^{2}=2as}

quãng đường đi được của vật rơi tự do-Chuyển động thành phần theo trục Oy của vật rơi tự do trong hệ trục tọa độ: s = g t 2 2 ≈ 5 t 2 {\displaystyle s={\frac {gt^{2}}{2}}\approx 5t^{2}} (khi chỉ ở trên Trái Đất) / y = g t 2 2 {\displaystyle /y={\frac {gt^{2}}{2}}}

Gia tốc hướng tâm: a = v 2 r = r ω 2 {\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}=r\omega ^{2}}

Lực hướng tâm: F = m v 2 r = m r ω 2 {\displaystyle F={\frac {mv^{2}}{r}}=mr\omega ^{2}}

Tầm ném xa: L 2 = ( v − 0 t ) 2 = v 0 2 2 h g {\displaystyle L^{2}=(v-0t)^{2}=v_{0}^{2}{\frac {2h}{g}}}

Định luật vạn vật hấp dẫn: F = G m 1 m 2 r 2 = G m 1 m 2 ( R + r ) 2 {\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{(R+r)^{2}}}}

Động năng của vật: W d = m v 2 2 {\displaystyle W_{d}={\frac {mv^{2}}{2}}}

Thế năng đàn hồi: W t = k ( Δ l ) 2 2 {\displaystyle W_{t}={\frac {k(\Delta l)^{2}}{2}}}

Trong đó v 0 {\displaystyle v_{0}} là vận tốc tại thời điểm t 0 {\displaystyle t_{0}} , à các tọa độ của vật, G {\displaystyle G} là hằng số hấp dẫn, g {\displaystyle g} là gia tốc trọng trường, v {\displaystyle v} là vận tốc, t {\displaystyle t} là thời gian, Δ l {\displaystyle \Delta l} là độ biến dạng của lò xo, a {\displaystyle a} là gia tốc, L {\displaystyle L} là tầm ném xa, W {\displaystyle W} là động năng, F {\displaystyle F} là lực, r {\displaystyle r} là bán kính của các thiên thể/vật mà ở đây thường là các hành tinh. ω = Δ a Δ t {\displaystyle \omega ={\frac {\Delta a}{\Delta t}}} là tốc độ góc của chuyển động tròn đều.